[ベルヌーイ分布]
確率関数 : \( f(k;p)=p^k(1-p)^{1-k} \)
期待値 : \( E(X) = p \)
分散 : \( V(X) = p(1-p) \)
結果が\(k=0\)か\(k=1\)である事象を表した分布。
[二項分布]
\( f(k)=p^k(1-p)^{n-k} \)
\( E(X) = np \)
\( V(X) = np(1-p) \)
互いに独立したベルヌーイ試行をn回行った時の確率分布。
\( n=1 \)だとベルヌーイ分布と等しいですね。
[マルチヌーイ分布]
\( f(k)=\frac{n!}{x_1! … x_k!}p_1^{x_1}…p_k^{x_k} \)
\( E(X_i) = np_i \)
\( V(X_i) = np_i(1-p_i) \)
多項分布。二項分布とは違い、各試行の結果はk個の値をとり、それぞれの値を取る確率も個別に異なる。
[ガウス分布]
\( f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}} \exp \left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2} \right) \)
\( E(x)=\mu \)
\( V(x)=\sigma ^2 \)
正規分布。\( \mu =0\)、\( \sigma ^2=1\)の時は標準正規分布と呼ばれる。
独立な同一の分布に従う確率変数の平均の分布は、元の分布の形状に関係なく正規分布に収束する(中心極限定理)。
\( \pm 1\sigma\)以下の範囲に含まれる確率は68.27%
\( \pm 2\sigma\)以下の範囲に含まれる確率は95.45%
\( \pm 3\sigma\)以下の範囲に含まれる確率は99.73%
[ポアソン分布]
\( f(k)=\frac{\lambda ^k}{k!}\dot e^{-\lambda} \)
\( E(x)=\mu \)
\( V(x)=\mu \)
与えられた時間中に平均\(\lambda \)回発生する事象が、ちょうど\(k \)回発生する確率。
\(\lambda \)が十分大きいならば、平均\(\lambda \)、標準偏差\(\sqrt{\lambda} \)の正規分布はポアソン分布の近似になる。
二項、ベルヌーイ、ポアソンは離散分布。
正規分布、t分布は連続分布。